Phương trình Maxwell-Gauss

Phương trình Maxwell-Gauss thừa hưởng từ định lý Gauss mô tả liên hệ giữa thông lượng điện trường qua một mặt kín và tổng điện tích chứa trong mặt kín đó:

∮ S ⁡ D ⋅ d A = ∫ V ρ d V {\displaystyle \oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\rho dV}

Phương trình này nói lên rằng: mật độ điện tích là nguồn của điện trường. Nói cách khác, sự hiện diện của điện tích (vế phải) sẽ gây nên một điện trường có điện cảm D thể hiện ở vế trái. Ví dụ: một điện tích điểm q nằm ở gốc tọa độ O. Định luật Coulomb cho biết trường tĩnh điện sinh ra bởi điện tích điểm này tại một điểm M trong không gian. Ta có O M = r = r   u r {\displaystyle \mathbf {OM} =\mathbf {r} =r\ \mathbf {u} _{r}} với u r {\displaystyle \mathbf {u} _{r}} là vectơ li tâm có độ lớn đơn vị:

E ( M )   =   q 4 π ε 0 r 2   u r {\displaystyle \mathbf {E} (M)\ =\ {\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}\,r^{2}}}\ \mathbf {u} _{r}}

Trường tĩnh điện này thỏa mãn phương trình Maxwell-Gauss với mật độ điện tích:

ρ ( r , t )   =   q   δ ( 3 ) ( r ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)\ =\ q\ \delta ^{(3)}(\mathbf {r} )}

trong đó δ ( 3 ) ( r ) {\displaystyle \delta ^{(3)}(\mathbf {r} )} là hàm delta Dirac ba chiều.

Bảo toàn thông lượng

Thông lượng của từ trường qua một mặt kín S luôn luôn bằng không:

∮ S ⁡ B ⋅ d S = 0 {\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0}

Điều này chỉ ra sự không tồn tại của đơn cực từ. Tương tự như điện tích điểm cho điện trường trong định luật Gauss, đơn cực từ là nguồn điểm của từ trường và nó luôn bằng không. Trong thực tế, nguồn của từ trường là các thanh nam châm. Một thanh nam châm là một lưỡng cực từ bao gồm cực nam và cực bắc. Khi ta cắt thanh nam châm ra làm hai, ta sẽ thu được hai lưỡng cực từ chứ không phải là hai cực nam và bắc riêng biệt.

Phương trình Maxwell-Faraday

Phương trình Maxwell-Faraday hay Định luật cảm ứng Faraday (còn gọi là Định luật Faraday-Lenz) cho biết mối liên hệ giữa biến thiên từ thông trong diện tích mặt cắt của một vòng kín và điện trường cảm ứng dọc theo vòng đó.

∮ S ⁡ E ⋅ d s = − d Φ B d t {\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {s} =-{d\Phi _{B} \over dt}}

với E là điện trường cảm ứng, ds là một phần tử vô cùng bé của vòng kín và dΦB/dt là biến thiên từ thông.

Phương trình Maxwell-Ampere

.

Phương trình Maxwell-Ampere cho biết sự lan truyền từ trường trong mạch kín với dòng điện đi qua đoạn mạch:

∮ S ⁡ B ⋅ d s = μ 0 I e n c {\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =\mu _{0}I_{\mathrm {enc} }}

trong đó:

B {\displaystyle \mathbf {B} } là từ trường,

d s {\displaystyle d\mathbf {s} } là thành phần vi phân của mạch kín S {\displaystyle S} ,

I e n c {\displaystyle I_{\mathrm {enc} }} là dòng điện bao phủ bởi đường cong S {\displaystyle S} ,

μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} là độ từ thẩm của môi trường,

∮ S {\displaystyle \oint _{S}} là đường tích phân theo mạch kín S {\displaystyle S} .